2024阿里巴巴全球数学竞赛决赛试题 6道题你能看懂几道

几何与拓扑

问题1

设(M1,g)是Ricci曲率非负的繁致黎曼流形,假设任给正数6,均存在有限覆盖#:→M使得(N,*g)的单射半径大于8.证明:(M,g)是平坦流形.

问题2

7"为n维环面,广:7→7是连续映射，记。:H:(7":R)→H(7”:8)为诱导映射假设H(T":R)上存在范数|·|使得对H(T";Z)中的每个非零元,都存在一个正整数k使得|(@)<la,其中产是f的k次选代,证明:「有不动点.(向量空间V上的范数是一个映射|1:V→R满足如下条件:u20对所有€V成立,且等号成立当且仅当u=0:·||λ∞|=|入·||对所有入€R和o€V成立;°||«+叫≤‖+| 对所有u,v€V成立.)

问题3

考虑3维复射影空间CP3中由邓十群十码十碍=0定义的复曲面,其中”为正整数,假设该复曲面上存在一个恰有素数个不动点的光滑S作用.证明:n-1,并构造出相应的作用。

问题4

记N,为连通不可定向的亏格为g的闭曲面，设M为连通可定向的闭3维流形使得每个光滑嵌入的2维球面都是一个3维球体的边界,并且N能光滑嵌入M中。证明:N能光滑嵌入M中当且仅当g是奇数，(N表示g个P”的连通和，g称为其亏格.)

问题5

构造一个紧致4维流形A,其边界为3维环面，且具有如下性质:存在一个内点P以及A(P}上4个处处线性无关的向量场X,X2,X,X使得X,X,X在边界上的限制构成3维环面上的左不变标架场,对M上的光滑度量g,设其在边界附近的限制是厂xS!xS'xS上的T(2))，其中Ω是q的Levi-Civita联络的曲率形式乘积度量,计算」(--

问题6

设Σ是R”+(n≥4)中的嵌入超曲面,其上诱导度量记为g,假设对Z上任意一点p,存在局部坐标(21…….2)以及光滑函数u使得g=e"(∑,dz;@dr;)，证明:对Z上任意一点p，某个主曲

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